Экзаменационное условие
A_t=∫₀ᵗu dW_u, B_t=∫₀ᵗuW_u⁴ dW_u, C_t=∫₀ᵗuW_u² du. Найдите E(A_t), E(C_t), Var(B_t), Cov(A_t,C_t).
Ключ источника
E(A_t)=0, E(C_t)=t³/3, Var(B_t)=15t⁷. Последняя ковариация в файле решений оставлена как «…», поэтому ниже она вычислена редакцией.
Первые моменты
Ито-интеграл с квадратично интегрируемым адаптированным подынтегральным процессом имеет нулевое ожидание. Для C: E(W_u²)=u, поэтому E(C_t)=∫₀ᵗu·u du=t³/3.
Дисперсия B
По изометрии Ито Var(B)=E∫₀ᵗu²W_u⁸du. Для W_u~N(0,u): E(W_u⁸)=105u⁴. Следовательно, 105∫₀ᵗu⁶du=15t⁷.
Недостающая ковариация
E(A_t)=0, поэтому Cov(A,C)=E(A_tC_t). По Фубини достаточно E[A_tW_s²]. Будущая относительно s часть A имеет нулевое условное ожидание, а (A_s,W_s) — центрированная совместно нормальная пара. Третий момент E(A_sW_s²)=0. Значит,
Cov(A_t,C_t)=0.
Нулевая ковариация здесь не означает независимость A_t и C_t; C_t является нелинейным функционалом того же винеровского пути.
Экзамен tssp_exams 2025–2026b · условие · частичный ключ · CC0 1.0. Cov(A,C) завершена редакцией.