Максимум выборки с плотностью 5y⁴/θ⁵: ММП и несмещённая поправка

Условие

Yᵢ независимы с плотностью 5y⁴/θ⁵ на [0,θ]. Найдите ММП θ, распределение максимума, его ожидание и исправьте смещение.

Ответы источника

θ̂_ML=max(Y₁,…,Yₙ); F_max(t)=[F_Y(t)]ⁿ; E(max)=5nθ/(5n+1); несмещённая версия [(5n+1)/(5n)]maxY.

Полное распределение

Для 0≤y≤θ: F_Y(y)=(y/θ)^5. Поэтому F_M(t)=(t/θ)^{5n} и f_M(t)=5n t^{5n−1}/θ^{5n} на [0,θ].

Интегрирование даёт указанное среднее. Поскольку M<θ почти наверное для конечной непрерывной выборки, несмещённым он быть не может.

Почему ММП — максимум

При θ<M правдоподобие нулевое; при θ≥M оно пропорционально θ^{-5n}. Это убывающая функция, поэтому выбирается минимально допустимая граница θ=M.

Дисперсия

E(M²)=5nθ²/(5n+2), откуда Var(M)=5nθ²/[(5n+2)(5n+1)²]. Она стремится к нулю, а M — к θ по вероятности. Масштабированная несмещённая оценка также состоятельна.

statistics_pro 7.3 · CC0 1.0 · ключ сохранён; дисперсия дополнена.