Несмещённая оценка дисперсии биномиальной величины по одному счётчику

Условие

Y∼Bin(n,p). Исследуйте p̂=Y/n и оценку дисперсии Y, σ̂²=n p̂(1−p̂). Если есть смещение, исправьте его.

Ключ источника

p̂ несмещённа; истинная дисперсия σ²=np(1−p); E(σ̂²)=(n−1)p(1−p), поэтому несмещённая версия равна [n/(n−1)]σ̂².

Вывод

E(p̂)=p, а E(p̂²)=p²+p(1−p)/n. Поэтому E[n p̂(1−p̂)]=n[p−p²−p(1−p)/n]=(n−1)p(1−p).

При n>1 получаем σ̂²_unb=n²p̂(1−p̂)/(n−1)=Y(n−Y)/(n−1).

Что именно оценивается

Это дисперсия биномиального счётчика Y. Дисперсия самой доли p̂ равна p(1−p)/n и имеет другой масштаб. Перенос множителя n без уточнения объекта оценки приводит к путанице.

Случай n=1

При одном испытании Y(1−Y)=0 всегда; делитель n−1 также нулевой. Из одного бинарного результата нельзя получить эту несмещённую оценку дисперсии счётчика указанной формой.

statistics_pro 7.4 · CC0 1.0 · ответы ключа сохранены.