Научная визуализация
Сдвинутая экспонента с правой границей a: максимум и несмещённая поправка
Сдвинутая экспонента с правой границей a: максимум и несмещённая поправка. Форма показана для n=5 как иллюстрация закона Exp(n); общая формула остаётся символической.
a−X_max~Exp(n); â=X_max+1/n
Условие
F(x)=exp(x−a) при x≤a и 1 при x>a. Исследуйте X_max: распределение, моменты, смещение, состоятельность и несмещённую оценку a.
Замена переменной
E=a−X имеет Exp(1). Поэтому X_max=a−min(E₁,…,Eₙ), а минимум независимых Exp(1) имеет Exp(n).
Ответы
a−X_max∼Exp(n); E(X_max)=a−1/n; Var(X_max)=1/n².
Функция распределения: F_max(x)=exp[n(x−a)] для x≤a, 1 выше a. Поэтому â=X_max+1/n несмещённо оценивает a.
Состоятельность
Среднее максимума стремится к a, дисперсия — к нулю, значит X_max→p a. Это совпадает с кратким выводом источника. Носитель зависит от a, поэтому свойства удобнее выводить напрямую.
statistics_pro 7.25 · CC0 1.0 · состоятельность сохранена; распределение завершено.