Условие
Y имеет плотность f(y)=3y²/θ³ на [0,θ]. Для iid выборки оцените θ и исследуйте максимум.
ММП
При θ≥M=maxYᵢ правдоподобие пропорционально θ^{-3n}; ниже M оно нулевое. Поэтому θ̂_ML=M.
Распределение максимума
F_Y(y)=(y/θ)^3. Следовательно,
F_M(m)=(m/θ)^{3n}, 0≤m≤θ,
f_M(m)=3n m^{3n−1}/θ^{3n}.
Моменты
E(M)=3nθ/(3n+1),
Var(M)=3nθ²/[(3n+2)(3n+1)²].
Несмещённая оценка границы:
θ̃=[(3n+1)/(3n)]M.
Состоятельность
Для ε>0 вероятность M≤θ−ε равна [(θ−ε)/θ]^{3n}→0. Максимум быстро концентрируется у правой границы.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-02 · закреплённый источник · CC0 1.0. Решение редакции.