Научная визуализация
Максимум при F(x)=(x/a)³: распределение, моменты и оценка границы
Максимум при F(x)=(x/a)³: распределение, моменты и оценка границы. Нормированная функция распределения u^{3n}; три значения n показывают концентрацию у границы.
F_M(m)=(m/a)^{3n}; â=(3n+1)M/(3n)
Условие
F_X(x)=(x/a)³ на [0,a]. Для iid выборки найдите плотность X, распределение и моменты X_max, смещение, состоятельность и несмещённую оценку a.
Исходная плотность и максимум
f_X(x)=3x²/a³. Для M=maxXᵢ: F_M(m)=(m/a)^{3n}, f_M(m)=3n m^{3n−1}/a^{3n}.
E(M)=3na/(3n+1), E(M²)=3na²/(3n+2), Var(M)=3na²/[(3n+2)(3n+1)²].
Поправка и состоятельность
Несмещённая версия: â=[(3n+1)/(3n)]M. Для любого ε>0 P(M≤a−ε)=[(a−ε)/a]^{3n}→0, поэтому M и скорректированная оценка состоятельны.
Ключ источника отмечает исчезновение дисперсии и предел a; полный закон и поправка дописаны из условия.
statistics_pro 7.26 · CC0 1.0 · вывод о состоятельности сохранён; расчёт завершён.