Условие
Истинная модель y=β₁+β₂x+u, но наблюдается x*=x+a. Величины x,a,u независимы и нормальны, их дисперсии 9,4,1. По случайной выборке оценивается МНК y~1+x*. Найдите вероятностный предел наклона, его условное и безусловное ожидания и оцените состоятельность и несмещённость.
Ошибка в ключе источника
Ключ приводит 9β₂/14. Однако Var(x*)=9+4=13, а не 14: дисперсия u не добавляется к дисперсии измеренного регрессора. Поэтому правильный коэффициент ослабления — 9/13.
Редакционный вывод предела
Cov(x*,y)=Cov(x+a,β₂x+u)=9β₂. Следовательно, plim β̂₂=(9/13)β₂. При β₂≠0 оценка несостоятельна для структурного наклона и смещена к нулю.
Ожидание при нормальности
Совместная нормальность даёт линейное условное среднее E(x|x*)=E(x)+(9/13)[x*−E(x*)]. Поэтому E(y|x*) имеет наклон (9/13)β₂. При невырожденной наблюдаемой X* E(β̂₂|X*)=(9/13)β₂.
При достаточной интегрируемости, в частности для нормальной выборки с n≥3, безусловное ожидание такое же. Для двух наблюдений отношение со случайным малым знаменателем может не иметь абсолютного первого момента; эту конечновыборочную оговорку ключ не обсуждает.
Свободный член
Средние x,a,u в условии не заданы. Его предел равен E(y)−(9β₂/13)E(x*) и не может быть превращён в конкретное число без этих средних. Нельзя автоматически объявить его равным β₁. Выводы о смещении имеют исключение β₂=0 для наклона; источник формулирует их в общем ненулевом случае.
Борис Демешев и участники · Исходное условие и ключ · CC BY 4.0. Знаменатель исправлен явно; ожидания выведены редакцией.