Условие
Для iid Xᵢ проверяется H0:μ=0 против μ>0. Критерий отвергает H0, если X̄>0. Наблюдений очень много. Каковы ошибки I и II рода и что происходит с пределом X̄?
Ответ источника
Ошибка I рода ≈1/2; ошибка II рода при фиксированной μ>0 стремится к 0; P(plim X̄>0)=0 под H0 и 1 под Ha.
Почему α не стремится к нулю
При H0 X̄ колеблется вокруг нуля. Если выполнена ЦПТ с ненулевой конечной дисперсией, стандартизированное среднее асимптотически симметрично, поэтому P(X̄>0)→1/2. Сам факт X̄→p0 не определяет знак конечного отклонения.
Альтернатива
При фиксированной μ>0 закон больших чисел даёт X̄→pμ, значит вероятность X̄≤0 стремится к нулю. Мощность приближается к единице.
Парадокс предела
Под H0 предельная случайная величина равна 0, поэтому событие «plim X̄>0» ложно с вероятностью 1. Это не означает, что конечное X̄ редко положительно. Предел и знак случайного отклонения при каждом n — разные утверждения.
Критерий имеет плохой уровень 50%; большое n не исправляет порог, выбранный без учёта желаемого α.
statistics_pro 12.13 · CC0 1.0 · четыре ответа источника сохранены; объяснение добавлено.