Условие
x∼N(0,1), E(u|x)=0. Истинный отклик y=β₁+β₂x+β₃x³+u, но оценивается y~1+x. Найдите состоятельность коэффициентов, объясните трудность проверки несмещённости и исследуйте инструменты sin x и cos x. Повторите для пропущенного x² вместо x³.
Кубический член
Источник даёт plim β̂₂=β₂+3β₃, а константа состоятельна для β₁. Действительно, E(x⁴)=3, E(x)=E(x³)=0, Var(x)=1.
Для sin x используем E[xsinx]=e⁻¹ᐟ² и E[x³sinx]=2e⁻¹ᐟ². Поэтому plim β̂₂,IV=β₂+2β₃: этот инструмент не устраняет пропущенный кубический эффект. Константа стремится к β₁.
Квадратичный член
Cov(x,x²)=0, поэтому наклон МНК стремится к β₂. Но E(x²)=1, следовательно, свободный член стремится к β₁+β₃, а не к β₁. В ключе ошибочно утверждается состоятельность обоих коэффициентов; здесь исправление выделено явно.
Для sin x произведение x²sinx нечётно и имеет нулевое ожидание. IV-наклон также стремится к β₂, константа — к β₁+β₃.
Инструмент cos x
Cov(x,cosx)=E[xcosx]=0 по нечётности. Инструмент нерелевантен для наклона в обеих моделях, поэтому обычная идентифицированная IV-формула через отношение ковариаций не даёт оценки β₂.
Почему предел не равен доказательству несмещённости
Конечновыборочная оценка содержит отношение случайных центрированных сумм, числитель и знаменатель зависимы. Их ожидания нельзя делить друг на друга. Симметрия иногда помогает отдельным моментам, но для полного ответа о несмещённости нужен специальный расчёт и существование ожидания. Источник спрашивает именно о трудности этого шага, а не даёт общего разрешения заменить отношение отношением ожиданий.
Борис Демешев и участники · Исходные модели и частичный ключ · CC BY 4.0. Константа исправлена; IV-пункты дополнены редакцией.