Условие
Средние (x,z,u) равны (4,2,0), ковариационная матрица [[5,1,−1],[1,9,0],[−1,0,4]]. Наблюдения независимы и одинаково распределены, y=β₁+β₂x+u. Найдите пределы МНК и 2SLS с константой на обоих шагах. Затем исключите константу только на первом шаге.
Часть ключа
Источник даёт plim β̂₂,OLS=β₂−1/5 и plim β̂₂,IV=β₂. Остальные ответы ниже выведены редакцией.
МНК
Cov(x,y)=5β₂−1. Поэтому наклон стремится к β₂−1/5, а свободный член — к E(y)−4(β₂−1/5)=β₁+4/5. Обе оценки в общем случае несостоятельны для структурных параметров.
Правильный первый шаг
Регрессия x на 1,z имеет предельные коэффициенты γ₂=1/9, γ₁=34/9. Инструмент экзогенен: Cov(z,u)=0, и релевантен: Cov(z,x)=1. Поэтому второй шаг даёт пределы β₂ и β₁.
Первый шаг без константы
Теперь γ̃=E(zx)/E(z²)=(1+2·4)/(9+2²)=9/13, а x̂=γ̃z. Второй шаг всё ещё содержит константу. Его наклон стремится к Cov(y,z)/[γ̃Var(z)]=13β₂/81.
Свободный член стремится к β₁+4β₂−(13β₂/81)(9/13)·2=β₁+34β₂/9. Они в общем случае не совпадают со структурными коэффициентами.
Почему потеря константы существенна
У x и z ненулевые средние. Регрессия через начало координат использует необработанные моменты, а следующий шаг с константой — центрированную вариацию. Такое несогласованное сочетание уже не является обычным 2SLS для исходной модели. Корректный инструментальный набор должен включать экзогенную константу.
Борис Демешев и участники · Исходные моменты и частичный ключ · CC BY 4.0. Недостающие пределы дополнены редакцией.