Если известно общее число событий двух независимых пуассоновских источников, число событий одного источника становится биномиальным. Доля его интенсивности задаёт вероятность принадлежности каждого события.
Условие
X и Y независимы, X ∼ Pois(λ₁), Y ∼ Pois(λ₂), λ₁, λ₂ > 0. Найдите E(X | X + Y). Обозначим сумму S = X + Y. В исходном сборнике решения нет; ниже — редакционный вывод.
Условное распределение
Сумма имеет распределение Pois(λ₁ + λ₂). При S = m возможны X = k, Y = m − k, где k = 0,…,m. По независимости:
P(X = k | S = m) = [e−λ₁λ₁ᵏ/k! · e−λ₂λ₂m−k/(m − k)!] / [e−(λ₁+λ₂)(λ₁ + λ₂)ᵐ/m!].
Экспоненты сокращаются. Положив α = λ₁/(λ₁ + λ₂), получаем:
P(X = k | S = m) = C(m, k)αᵏ(1 − α)m−k.
Следовательно, X при известной сумме m имеет распределение Bin(m, α).
Искомое условное ожидание
Среднее биномиальной величины равно числу испытаний, умноженному на вероятность успеха. Поэтому:
E(X | S = m) = mλ₁/(λ₁ + λ₂).
Как функция случайной суммы ответ записывается:
E(X | X + Y) = [λ₁/(λ₁ + λ₂)](X + Y).
При S = 0 обе исходные величины равны нулю, и формула по-прежнему корректна.
Условная дисперсия и проверки
Дополнительно Var(X | S) = Sα(1 − α). Формула полного ожидания даёт E(X) = αE(S) = α(λ₁ + λ₂) = λ₁.
По формуле полной дисперсии Var(X) = α(1 − α)E(S) + α²Var(S). У пуассоновской суммы среднее и дисперсия равны λ₁ + λ₂. Сумма двух вкладов равна α(λ₁ + λ₂) = λ₁ — исходной дисперсии X.
Почему условие создаёт связь
Без условия X и Y независимы. После фиксации суммы одно значение полностью определяет другое: Y = m − X. Поэтому независимость исходных источников нельзя переносить на их условные количества при фиксированном общем числе событий.
Сумма потоков сообщений · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 23.6 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение и проверки редакции.