Два независимых потока сообщений: распределение суммы и время ожидания

При объединении независимых пуассоновских потоков складываются их интенсивности. Важно не перепутать частоту событий с временем ожидания: среднее время между событиями равно обратной величине суммарной интенсивности.

Условие

Оля и Юля пишут СМС Маше. Их сообщения образуют два независимых пуассоновских потока: Оля отправляет в среднем 5 сообщений в час, Юля — 2. Какова вероятность получить ровно 6 сообщений за час? Сколько времени в среднем проходит между сообщениями от подруг?

В зафиксированном исходном сборнике решение не заполнено. Ниже приведено решение редакции для указанных независимых потоков.

Суммарное количество сообщений

Обозначим количества сообщений за час через N₁ и N₂. Их параметры равны 5 и 2. Сумма N = N₁ + N₂ имеет пуассоновское распределение с параметром:

λ = 5 + 2 = 7 сообщений за час.

По формуле вероятностей распределения Пуассона:

P(N = 6) = e⁻⁷ · 7⁶/6! ≈ 0,1490027797.

Таким образом, вероятность составляет примерно 14,9003%. Среднее число сообщений 7 не означает, что каждый час обязательно приходит семь: счётчик случаен.

Проверка через разбиение события

Шесть сообщений могут разделиться между отправительницами семью способами: 0 и 6, 1 и 5, …, 6 и 0. По независимости вероятность каждой пары количеств равна произведению, поэтому:

P(N = 6) = Σ_k=0⁶ [e⁻⁵5^k/k!] · [e⁻²2^6−k/(6 − k)!].

Вынесем e⁻⁷/6!. Оставшаяся сумма равна Σ C(6; k)5^k2^6−k = (5 + 2)⁶. Получается тот же ответ e⁻⁷7⁶/6!.

Время до следующего сообщения

Пусть T — время ожидания в часах. Не получить ни одного сообщения за t часов означает одновременно не получить сообщений ни от Оли, ни от Юли:

P(T > t) = e^−5t · e^−2t = e^−7t, t ≥ 0.

Следовательно, T имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью 7 в час. Его среднее:

E(T) = 1/7 часа = 60/7 минуты ≈ 8,5714 минуты.

Это примерно 8 минут 34 секунды между последовательными сообщениями объединённого потока.

Две распространённые подмены

Нельзя складывать средние интервалы 1/5 и 1/2 часа: ожидание следующего сообщения заканчивается, когда сработает любой из двух потоков, поэтому оно короче каждого отдельного среднего интервала.

Также нельзя выводить пуассоновское распределение суммы только из двух средних частот. В условии существенны и тип потоков, и их независимость; без этих предпосылок приведённые формулы не следуют.

Связанные материалы

Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.

Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 13.3 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.