Заменить отрицательные значения нулями и оставить только отрицательные наблюдения — две разные операции. В первом случае появляется атом в нуле, во втором распределение нужно нормировать на выбранной половине.
P(Y=0)=P(X≤0); для y>0 плотность Y совпадает с плотностью X
Условие
X имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Найдите E(Y) для Y = max(X, 0), а также E(X | X < 0) и Var(X | X < 0). В источнике решение не заполнено; ниже — редакционный вывод.
Обозначим стандартную нормальную плотность φ(x) = exp(−x²/2)/√(2π). Её производная равна −xφ(x).
Среднее положительной части
При X ≤ 0 величина Y равна нулю, поэтому в среднее входит только положительная полуось:
E(Y) = ∫₀∞ xφ(x) dx = φ(0) = 1/√(2π) ≈ 0,398942.
Интеграл вычисляется как −φ(x) на концах отрезка интегрирования. Значение φ(x) стремится к нулю на бесконечности.
Как устроено распределение Y
С вероятностью 1/2 исходная X неположительна, поэтому P(Y = 0) = 1/2. На положительной полуоси непрерывная часть имеет плотность φ(y), интеграл которой тоже равен 1/2.
Полная функция распределения Y равна 0 при y < 0 и Φ(y) при y ≥ 0. Обычная плотность одной функцией по длине не описывает атом в нуле.
Условное среднее отрицательной половины
Условная плотность X при X < 0 равна 2φ(x) для x < 0. По симметрии отрицательный интеграл xφ(x) противоположен положительному:
E(X | X < 0) = −2φ(0) = −√(2/π).
Деление на вероятность условия 1/2 удваивает модуль среднего относительно ненормированного вклада отрицательной полуоси.
Условная дисперсия
Функция x²φ(x) чётна. Половина исходного второго момента лежит на каждой полуоси, поэтому после условной нормировки E(X² | X < 0) = 1.
Отсюда:
Var(X | X < 0) = 1 − 2/π ≈ 0,363380.
Нельзя принять её за исходную дисперсию 1: второй момент сохранился, но условное среднее уже не равно нулю.
Дополнительная проверка
Для Y = max(X, 0) второй момент равен 1/2. Поэтому Var(Y) = 1/2 − 1/(2π). Эти характеристики отличаются от характеристик |X|: модуль отражает отрицательные значения, а положительная часть сжимает их в ноль.
Смешанное распределение с массой в нуле · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 18.6 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.