Отобрать уже завершившиеся серии без нечётных граней — не то же самое, что заново бросать кубик только с гранями 2, 4 и 6. Условие относится ко всей случайной длине последовательности.
E[T|C]=Σₙ≥0 P(T>n|C)
Условие
Правильный кубик независимо бросают до первой шестёрки. N — общее число бросков, Y — число нечётных результатов до остановки. Найдите E(N), E(N | Y = 0) и E(N | Y). В сборнике приведена библиографическая ссылка, но вычисления не заполнены; далее — редакционное решение.
Без условия
Вероятность завершить эксперимент на каждом броске равна 1/6. Поэтому N имеет геометрическое распределение с E(N) = 6.
Ни одной нечётной грани
Событие N = n, Y = 0 требует n − 1 результатов из {2, 4} и завершающей шестёрки. Его вероятность равна (1/3)n−1/6. Суммирование по n ≥ 1 даёт P(Y = 0) = 1/4.
После деления на вероятность условия получаем:
P(N = n | Y = 0) = (2/3)(1/3)n−1.
Это геометрическое распределение с параметром 2/3, поэтому E(N | Y = 0) = 3/2. Ответ 3 от кубика с тремя равновероятными чётными гранями описывал бы другой эксперимент.
Известно число нечётных результатов
Назовём существенным бросок, на котором выпала нечётная грань либо шестёрка. Вероятность существенного броска равна 4/6 = 2/3. Среди таких бросков вероятность шестёрки — 1/4, нечётного результата — 3/4.
Если Y = y, до остановки произошло ровно y + 1 существенных бросков: y нечётных и одна шестёрка. Времена ожидания существенных бросков имеют среднее 3/2. Их длительности независимы от типов существенных исходов, поэтому условие на y не меняет это среднее:
E(N | Y = y) = 3(y + 1)/2.
Следовательно, как случайная величина E(N | Y) = 3(Y + 1)/2.
Проверка полным ожиданием
Y имеет геометрическое распределение числа неудач до успеха с вероятностью успеха 1/4: P(Y = y) = (1/4)(3/4)y. Его среднее равно 3. Усредняя найденную формулу, получаем (3/2)(3 + 1) = 6 — исходное E(N).
Первая шестёрка в поочерёдной игре · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.17 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.