Условие
20 уток и 10 охотников. Каждый независимо равномерно выбирает утку; стреляют одновременно. X — число попаданий, Y — выжившие. Рассмотрите точное попадание и вероятность попадания 0,7.
Решение по шагам
При вероятности попадания p каждое действие даёт индикатор с ожиданием p, поэтому EX=10p. Для конкретной утки один охотник не поражает её с вероятностью 1−p/20. Независимость действий даёт P(утка выжила)=(1−p/20)¹⁰, значит EY=20(1−p/20)¹⁰.
Для p=1: EX=10, EY=20(19/20)¹⁰≈11,9747. Для p=0,7: EX=7, EY=20(193/200)¹⁰≈14,0057. Несколько попаданий в одну утку уменьшают число выживших только на единицу.
Проверка результата
При p=0 все 20 выживают. При p=1 среднее число поражённых 20−EY меньше 10, поскольку возможны совпадения целей.
Типичная ошибка
Писать Y=20−X: число попаданий и число разных поражённых уток не совпадают.
Что даёт этот метод
Для сохранения объекта считайте вероятность отсутствия воздействий именно на него.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- МГУ, вероятность: сколько пар серёг не выбрали за год
- ВШЭ, ПМИ: контрольная «Альфа» 2024, все шесть задач
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA1Q6. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.