Как перевод ученика может повысить средний балл обоих классов

Условие

Ученик с баллом x переходит из класса A в B. Когда средние баллы обоих классов увеличатся? Баллы остальных не меняются; в A первоначально не меньше двух учеников.

Решение по шагам

Пусть в A n учеников со средним μA, в B m со средним μB. После перевода среднее A равно (nμA − x)/(n − 1). Разность с прежним средним равна (μA − x)/(n − 1), поэтому рост происходит при x < μA.

Для B новое среднее (mμB + x)/(m + 1); прибавка (x − μB)/(m + 1) положительна при x > μB. Оба условия совместимы тогда и только тогда, когда μB < x < μA.

Пример: A имеет баллы 8, 10, 6 и среднее 8; B — 4, 4 и среднее 4. Перевод ученика с 6 повышает среднее A до 9, B до 14/3. Общая сумма баллов и общее среднее всех учеников сохраняются.

Проверка результата

Исходная сумма 32 для пяти учеников; после перевода та же сумма и пять человек. Растут средние отдельных групп из-за изменения их размеров.

Типичная ошибка

Считать среднее двух классов простым средним их средних без учёта численности.

Что даёт этот метод

Запишите новую сумму и новый знаменатель отдельно для каждой группы.

Дальше по теме

Теория вероятностей: другие задачи.

Следующие разборы

Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев и участники, probability_dna, L540. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC BY 4.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.