Практикум по математическому анализу соединяет технику вычислений с условиями применимости метода. В каждом материале есть самостоятельное условие, пошаговое решение, проверка и разбор ошибки.
Порядок подготовки
Начните с пределов и области определения, затем переходите к производным, касательным и экстремумам. Для интегралов повторите подстановку, интегрирование по частям и простейшие дроби. Завершающие темы — сходимость, оценки ошибок и дифференциальные уравнения.
Учебный ориентир
Для повторения общей теории доступны правила дифференцирования OpenStax и указатель Calculus Volume 1. Условия и объяснения этого практикума сформулированы отдельно, без переноса учебниковых упражнений.
Задачи по темам
20 самостоятельных разборов: условие, решение, проверка и типичная ошибка.
Производные и приближения — 7
- Глобальные экстремумы на отрезке: стационарные точки и оба конца
- Касательная и линейная аппроксимация: f(x)=x³−2x около x=2
- Неявное дифференцирование окружности: наклон касательной в точке (3,4)
- Перегиб и разрыв: почему смены знака f″ по разные стороны нуля недостаточно
- Правило цепочки: производная (3x²+1)⁵ и внутренний множитель
- Склейка двух формул: непрерывность и производная в точке перехода
- Тейлор для e⁰·¹: приближение второго порядка с гарантированной погрешностью
Интегралы и численные методы — 7
- Интегрирование по частям: первообразная x·eˣ
- Метод трапеций для ∫₀¹x²dx: результат и граница ошибки
- Несобственный интеграл ∫₁∞x⁻ᵖdx: граница сходимости p=1
- Площадь между y=x² и y=2x: точки пересечения и верхняя граница
- Подстановка в интеграле x/(x²+1): производная знаменателя в числителе
- Простейшие дроби: интеграл 1/[x(x+1)] и области определения
- Симметрия определённого интеграла: нечётная часть исчезает