Условие
Определите, при каких действительных p сходится ∫₁∞x⁻ᵖdx, и найдите его значение при сходимости.
Решение по шагам
Заменим бесконечный предел верхней границей R и затем устремим R к бесконечности. При p≠1 интеграл до R равен (R¹⁻ᵖ−1)/(1−p). Если p>1, степень 1−p отрицательна и первый член исчезает: ответ 1/(p−1).
При p<1 выражение растёт без границы. Для p=1 интеграл равен ln R и тоже расходится. Значит сходимость имеет место ровно при p>1.
Проверка результата
При p=2 интеграл равен 1. При p=1 верхние границы R=e,e²,e³ дают значения 1,2,3, показывая неограниченный рост.
Типичная ошибка
Тенденция интегранда к нулю недостаточна для сходимости: 1/x стремится к нулю, но его интеграл расходится.
Что даёт этот метод
p-критерий — базовый инструмент сравнения для несобственных интегралов и положительных рядов. Поведение около нуля требует отдельного критерия.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.