Условие
Найдите неопределённый интеграл ∫x/(x²+1) dx.
Решение по шагам
Положим u=x²+1. Тогда du=2x dx, а x dx=du/2. Интеграл превращается в (1/2)∫du/u=(1/2)ln(u)+C. Возвращаясь к x, получаем (1/2)ln(x²+1)+C.
Модуль здесь не требуется, поскольку x²+1 всегда положителен. Первообразная определена на всей действительной прямой.
Проверка результата
Производная (1/2)ln(x²+1) равна (1/2)·2x/(x²+1)=x/(x²+1), что полностью проверяет ответ.
Типичная ошибка
Замена dx на du без множителя 2x приводит к неверному коэффициенту. После подстановки в интеграле должна остаться только новая переменная.
Что даёт этот метод
Когда числитель пропорционален производной знаменателя, часто подходит логарифмическая первообразная. Область определения определяет необходимость модуля.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.