Условие
Вычислите ∫1/[x(x+1)] dx на каждом промежутке области определения.
Решение по шагам
Ищем A/x+B/(x+1). После приведения к общему знаменателю числитель равен (A+B)x+A. Сравнение с 1 даёт A=1, B=−1. Поэтому первообразная ln|x|−ln|x+1|+C.
Исходная функция не определена в −1 и 0. Формула работает на промежутках (−∞,−1), (−1,0), (0,+∞); константа может быть разной на разных компонентах.
Проверка результата
Алгебраическое сложение 1/x−1/(x+1) возвращает исходную дробь. Производная логарифмов на каждом допустимом промежутке совпадает с интеграндом.
Типичная ошибка
Логарифмы без модулей ограничили бы ответ только частью области определения. Единая константа для несвязной области не обязательна.
Что даёт этот метод
Разложение рациональной функции начинается с факторизации знаменателя и сравнения коэффициентов. Кратные множители требуют дополнительных степеней дробей.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.