Условие
Вычислите ∫x·eˣ dx и проверьте результат дифференцированием.
Решение по шагам
Выбираем u=x, dv=eˣdx. Тогда du=dx, v=eˣ. Формула ∫u dv=uv−∫v du даёт x·eˣ−∫eˣdx=(x−1)eˣ+C.
Выбор u уменьшает степень многочлена: после дифференцирования x остаётся константа. Это делает оставшийся интеграл проще исходного.
Проверка результата
Производная (x−1)eˣ равна eˣ+(x−1)eˣ=x·eˣ. Проверка одновременно обнаруживает ошибку знака или пропущенную экспоненту.
Типичная ошибка
Формула содержит минус перед оставшимся интегралом. Если выбрать u=eˣ и dv=x dx, выражение обычно усложнится.
Что даёт этот метод
Для многочлена степени n, умноженного на экспоненту, повторное применение по частям снижает степень до нуля за конечное число шагов.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.