Условие
Решите y′(t)+y(t)=t при y(0)=2.
Решение по шагам
Умножаем уравнение на eᵗ: eᵗy′+eᵗy=teᵗ. Левая часть — производная (eᵗy)′. Интеграл правой части по частям равен (t−1)eᵗ+C. Делим на eᵗ: y=t−1+Ce⁻ᵗ.
Из y(0)=2 получаем −1+C=2, значит C=3. Итоговое решение y=t−1+3e⁻ᵗ состоит из частного решения и затухающего решения однородного уравнения.
Проверка результата
Производная равна 1−3e⁻ᵗ. Её сумма с y точно равна t; начальное значение равно 2.
Типичная ошибка
Интегрирующий множитель должен умножать обе части. Если умножить только член y, производная произведения не возникнет.
Что даёт этот метод
Для y′+p(t)y=q(t) множитель равен exp(∫p(t)dt). После умножения задача сводится к одному интегрированию.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.