Условие
На окружности x²+y²=25 найдите y′ и уравнение касательной в точке (3,4).
Решение по шагам
Рассматриваем y как локальную функцию x. Дифференцирование даёт 2x+2yy′=0, поэтому y′=−x/y при y≠0. В точке (3,4) наклон равен −3/4. Касательная: y−4=−(3/4)(x−3), или 3x+4y=25.
Локальная функция существует около этой точки, потому что y=4 не равен нулю. В точках с y=0 запись y′ как конечного наклона не подходит: касательная вертикальна.
Проверка результата
Точка удовлетворяет 3·3+4·4=25. Нормаль касательной (3,4) совпадает с радиусом окружности в данной точке.
Типичная ошибка
Дифференцировать y² как 2y без множителя y′ нельзя: y меняется вместе с x.
Что даёт этот метод
Для F(x,y)=0 при Fᵧ≠0 локальная производная равна −Fₓ/Fᵧ. Условия существования производной нужно проверять вместе с формулой.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.