Условие
Найдите касательную к f(x)=x³−2x при x=2 и оцените f(2,01) линейным приближением.
Решение по шагам
Значение f(2)=4. Производная f′(x)=3x²−2, поэтому f′(2)=10. Касательная имеет вид L(x)=4+10(x−2). При x=2,01 она даёт 4,1.
Точное разложение при h=x−2: f(2+h)=4+10h+6h²+h³. Для h=0,01 пропущенная добавка равна 0,000601; точное значение 4,100601. Приближение удобно, когда квадратичный остаток достаточно мал для цели расчёта.
Проверка результата
Подстановка x=2 в касательную возвращает 4, её наклон 10 совпадает с производной. Разность точного и приближённого результата вычисляется явно.
Типичная ошибка
Касательная не совпадает с функцией во всей окрестности. Указание погрешности необходимо, если приближение используется как численный ответ.
Что даёт этот метод
Дифференциал f′(a)h — первый порядок изменения функции. Более точные приближения получаются добавлением следующих членов формулы Тейлора.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.