Условие
Приблизьте e⁰·¹ многочленом второго порядка около нуля и получите верхнюю границу ошибки.
Решение по шагам
Формула Тейлора: eˣ=1+x+x²/2+R₃. При x=0,1 многочлен равен 1,105. В форме Лагранжа R₃=e^ξ·x³/6 при 0<ξ<0,1. Поэтому 0<R₃<e⁰·¹·0,001/6<0,000185.
Приближение занижает истинное значение, потому что остаток положителен. Его ошибка меньше 0,000185; это оценка, а не утверждение о точной ошибке.
Проверка результата
Прямое вычисление даёт e⁰·¹≈1,105170186 и ошибку около 0,000170186, которая действительно меньше доказанной границы.
Типичная ошибка
Последний включённый член x²/2 не является оценкой остатка. Для гарантии нужно ограничить следующую производную на всём отрезке между центром и аргументом.
Что даёт этот метод
Оценка остатка позволяет выбрать степень приближения под заданную точность. При удалении от центра граница обычно увеличивается.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.