Условие
Для f(x)=1/x исследуйте выпуклость и выясните, является ли x=0 точкой перегиба.
Решение по шагам
Область определения состоит из двух промежутков: x<0 и x>0. Вторая производная f″=2/x³ отрицательна слева и положительна справа. Направление изгиба на этих промежутках различается.
Однако точки графика с x=0 нет: функция там не определена и имеет вертикальную асимптоту. Поэтому x=0 не является точкой перегиба графика. Смена знака между разными компонентами области определения не заменяет существование самой точки.
Проверка результата
На каждом из двух промежутков знак f″ постоянен; внутри них перегибов нет. Односторонние значения функции при x→0 расходятся к бесконечностям.
Типичная ошибка
Нельзя объявлять перегибом любой переход знака второй производной. Нужно учитывать область определения и поведение функции в рассматриваемой точке.
Что даёт этот метод
Перегиб — изменение характера изгиба при прохождении через точку графика. Нули или неопределённость f″ дают кандидатов, а не готовый ответ.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.