Условие
Найдите предел (x²−9)/(x−3) при x→3. Существует ли значение исходной функции в точке 3?
Решение по шагам
Числитель раскладывается: x²−9=(x−3)(x+3). При x≠3 дробь равна x+3, поэтому её предел равен 6. В исходной точке знаменатель нулевой: функция там не определена.
Предел описывает значения в проколотой окрестности. Для его вычисления не требуется значение в самой точке. Если отдельно определить f(3)=6, получим непрерывное продолжение; это уже новая функция с дополнительным значением.
Проверка результата
При x=2,9 и x=3,1 значения сокращённой дроби равны 5,9 и 6,1. Символьное разложение подтверждает равенство дроби и x+3 именно при x≠3.
Типичная ошибка
Нельзя подставлять x=3 в равенство после сокращения и утверждать, что исходная дробь равна 6 в этой точке.
Что даёт этот метод
Сокращение устраняет неопределённость 0/0 при общем множителе. При проверке преобразований сохраняйте исключённые значения.
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.