Условие
Вычислите ∫ от −2 до 2 (x³+x²) dx, используя чётность слагаемых.
Решение по шагам
Слагаемое x³ нечётно: значения в x и −x противоположны. Его интеграл по симметричному промежутку равен нулю. Функция x² чётная, поэтому её интеграл равен 2∫₀²x²dx=2·8/3=16/3.
Разложение на чётную и нечётную части позволяет сократить вычисление, но требует симметричных пределов и существования интеграла.
Проверка результата
По общей первообразной x⁴/4+x³/3 разность значений на концах тоже равна 16/3. Это независимая проверка симметричного способа.
Типичная ошибка
Нельзя объявить весь интеграл нулевым: сумма содержит чётную часть. При несимметричных пределах сокращение нечётной части обычно не происходит.
Что даёт этот метод
Для интегрируемой нечётной функции на [−a,a] интеграл равен 0; для чётной — удвоенному интегралу по [0,a].
Дальше по теме
Математический анализ: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.