Условие
Меньшая дуга AB имеет угловую меру 80°. Найдите ∠ACB, если C лежит сначала на большей дуге AB, затем на меньшей. C не совпадает с концами дуги.
Решение по шагам
Вписанный угол измеряется половиной дуги AB, которая не содержит его вершину C. Когда C лежит на большей дуге, угол опирается на меньшую дугу 80°, поэтому ∠ACB=40°.
Когда C лежит на меньшей дуге, угол опирается на оставшуюся дугу 360°−80°=280°. Тогда ∠ACB=140°. Указание положения вершины обязательно: одни и те же концы хорды без него не задают единственного угла.
Проверка результата
40°+140°=180°, что согласуется с противоположными углами вписанного четырёхугольника. При дуге 180° оба варианта дали бы 90° — теорему об угле, опирающемся на диаметр.
Типичная ошибка
Нельзя всегда делить меньшую дугу пополам. Сначала установите, какая именно дуга находится по другую сторону от вершины угла.
Что даёт этот метод
Окружность задаёт две дуги с одними концами; выбор правильной дуги предотвращает ошибку между острым и тупым вписанным углом.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Биссектриса треугольника: деление стороны в отношении 2:3
- Описанная окружность: радиус 85/8 для треугольника 10–17–21
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, vpisannyy-ugol-duga-80. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.