Условие
M — середина отрезка AB. Докажите, что точка P лежит на перпендикуляре к AB через M тогда и только тогда, когда PA=PB.
Решение по шагам
Если PM перпендикулярен AB, прямоугольные треугольники PMA и PMB имеют общую сторону PM и равные катеты MA=MB. Они равны, поэтому PA=PB.
Обратно, если PA=PB и P не лежит на AB, треугольники PAM и PBM равны по трём сторонам. Углы PMA и PMB равны и в сумме составляют 180°, следовательно каждый равен 90°. Если P лежит на AB, равенство расстояний возможно только при P=M, а M принадлежит искомой прямой.
Проверка результата
В координатах A=(−a,0), B=(a,0) равенство (x+a)²+y²=(x−a)²+y² при a>0 даёт 4ax=0, то есть x=0. Это независимая алгебраическая проверка геометрического доказательства.
Типичная ошибка
Доказательство только одного направления не устанавливает геометрическое место точек. Отдельно проверьте случай P=M, в котором треугольники вырождаются.
Что даёт этот метод
Эквивалентность условия и построения используется при нахождении центра описанной окружности: пересечение серединных перпендикуляров равноудалено от вершин.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Биссектриса треугольника: деление стороны в отношении 2:3
- Хорда на расстоянии 5 от центра окружности радиуса 13
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, seredinnyy-perpendikulyar. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.