Условие
Стороны треугольника равны 9,10,17. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение по шагам
Полупериметр равен 18. По Герону площадь S=√(18·9·8·1)=36. Соединим центр вписанной окружности с тремя вершинами: площадь треугольника распадается на три площади с высотой r к соответствующей стороне.
Поэтому S=(9r+10r+17r)/2=18r. Отсюда r=S/s=36/18=2. Равенство S=rs объясняет формулу и показывает, почему нужен именно полупериметр.
Проверка результата
Площади трёх частей при r=2 равны 9,10 и 17, их сумма 36. Треугольник существует: 9+10>17.
Типичная ошибка
Радиус вписанной окружности не равен половине произвольной стороны. Отрезки от центра до сторон перпендикулярны сторонам, а не обязательно делят их пополам.
Что даёт этот метод
Разложение площади на три треугольника связывает локальный радиус с глобальными размерами фигуры и работает для любого невырожденного треугольника.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Описанная окружность: радиус 85/8 для треугольника 10–17–21
- Треугольник 13–14–15: площадь по Герону и высота 12
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, vpisannaya-okruzhnost-9-10-17. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.