Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; вершины идут по её контуру в указанном порядке. ∠A=68°, ∠B=95°. Найдите ∠C и ∠D.
Решение по шагам
Противоположные углы вписанного четырёхугольника опираются на две дуги, вместе составляющие всю окружность. Поэтому сумма каждой пары противоположных углов равна половине 360°, то есть 180°.
Отсюда C=180°−68°=112°, D=180°−95°=85°. Условие о порядке вершин указывает именно противоположные пары A,C и B,D.
Проверка результата
68°+112°=180°,95°+85°=180°, а сумма всех четырёх углов 360°. Последняя проверка необходима, но сама по себе не доказывает вписанность.
Типичная ошибка
Сумма 180° относится к противоположным, а не соседним углам. Для произвольного четырёхугольника такое равенство может быть неверно.
Что даёт этот метод
Равенство противоположных углов в сумме 180° используется и как признак вписанности; оно помогает заметить скрытую окружность в задаче.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Равнобедренный треугольник: угол 40° и доказательство равенства углов у основания
- Вписанная окружность: радиус через площадь и полупериметр
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, vpisannyy-chetyrehugolnik-68-95. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.