Условие
Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание со стороной 6 и высоту 4. Найдите апофему, полную поверхность и объём.
Решение по шагам
В правильной пирамиде вершина находится над центром квадрата. Расстояние от центра до середины стороны основания равно 3. Апофема боковой грани поэтому l=√(4²+3²)=5.
Площадь каждой боковой грани 6·5/2=15, четырёх граней 60. Основание имеет площадь 36, полная поверхность S=96. Объём пирамиды V=Sосн·h/3=36·4/3=48.
Проверка результата
Апофема 5 отличается от бокового ребра√(4²+(3√2)²)=√34. Эта независимая проверка показывает, что использовалась именно высота грани, а не её сторона.
Типичная ошибка
Не подставляйте высоту пирамиды 4 в площадь бокового треугольника вместо апофемы. Формула объёма требует множителя 1/3.
Что даёт этот метод
Для пространственных фигур сначала определяйте нужный плоский разрез. Здесь разрез через вершину, центр и середину стороны даёт точный прямоугольный треугольник.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Конус радиуса 3 и высоты 4: образующая, объём и полная поверхность
- Прямоугольный параллелепипед 3×4×12: диагональ, объём и поверхность
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, kvadratnaya-piramida-6-4. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.