Условие
Прямой круговой конус имеет радиус основания 3 и высоту 4. Найдите образующую, объём и полную площадь поверхности.
Решение по шагам
В осевом сечении половина фигуры — прямоугольный треугольник с катетами R=3 и h=4. Образующая l=5. Объём V=πR²h/3=12π.
Развёртка боковой поверхности является сектором радиуса l. Его дуга равна длине окружности основания 2πR, поэтому площадь сектора равна l·(2πR)/2=πRl=15π. Добавляем основание 9π: полная площадь S=24π.
Проверка результата
Угол развёртки θ=(2πR)/l=6π/5 меньше полного оборота 2π, как и требуется. Площадь сектора l²θ/2 снова равна 15π.
Типичная ошибка
Высота h и образующая l различаются. В боковой поверхности используется l; площадь основания добавляется только для полной поверхности.
Что даёт этот метод
Развёртка объясняет формулу поверхности и позволяет проверить её независимо от запоминания готового выражения.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Правильная пирамида: высота 4, основание 6 и апофема 5
- Прямоугольный параллелепипед 3×4×12: диагональ, объём и поверхность
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, konus-radius-3-vysota-4. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.