Условие
Найдите площадь треугольника со сторонами 13,14,15 и высоту к стороне 14.
Решение по шагам
Полупериметр s=(13+14+15)/2=21. Формула Герона даёт S=√(s(s−13)(s−14)(s−15))=√(21·8·7·6)=84. Из S=14h/2 получаем h=12.
Высота разделяет сторону 14 на части 5 и 9: √(13²−12²)=5, √(15²−12²)=9. Это также позволяет восстановить геометрическую конфигурацию и объяснить, почему вычисления площади согласованы с длинами сторон.
Проверка результата
Независимая конструкция использует две пифагоровы тройки: 5²+12²=13² и 9²+12²=15²; отрезки основания суммируются в 14. Площадь через найденную высоту равна 84.
Типичная ошибка
В Героне используется полупериметр, а не полный периметр. Из площади высота находится как 2S/a, а не S/a.
Что даёт этот метод
Формула Герона полезна при трёх известных сторонах. Последующая проверка через высоту помогает обнаружить ошибку под корнем.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Вписанная окружность: радиус через площадь и полупериметр
- Подобные фигуры: периметр меняется в 5/3 раза, площадь — в 25/9
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, geron-13-14-15. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.