Условие
M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Сторона BC равна 18. Найдите MN и отношение площадей AMN и ABC.
Решение по шагам
AM/AB=AN/AC=1/2, а угол A общий. Треугольники AMN и ABC подобны по двум сторонам и заключённому углу. Поэтому MN/BC=1/2, откуда MN=9. Равенство соответствующих углов также даёт MN∥BC.
При подобии линейные размеры меняются в k раз, а площади — в k² раз. Здесь k=1/2, значит S(AMN)/S(ABC)=1/4. Можно получить это и через основания и высоты: и то и другое у малого треугольника вдвое меньше.
Проверка результата
Если положить A=(0,0), B=(b₁,b₂), C=(c₁,c₂), то N−M=(C−B)/2. Длина равна половине BC, а определитель двух сторон уменьшается в четыре раза.
Типичная ошибка
Отношение площадей не равно отношению сторон. Также параллельность не следует из одного случайного измерения длин: она доказана подобием.
Что даёт этот метод
Середины сторон дают удобную гомотетию с центром A. Она сокращает и вычисления размеров, и доказательство параллельности.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Биссектриса треугольника: деление стороны в отношении 2:3
- Пересекающиеся хорды: неизвестный отрезок равен 9
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, srednyaya-liniya-treugolnika. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.