Условие
В треугольнике ABC даны AB=10, AC=15, BC=20. Биссектриса угла A пересекает BC в D. Найдите BD и DC.
Решение по шагам
Треугольники ABD и ACD имеют одинаковую высоту к прямой BC, поэтому отношение их площадей равно BD/DC. С другой стороны, площади через две стороны и угол равны AB·AD·sin∠BAD/2 и AC·AD·sin∠DAC/2. Углы равны, потому BD/DC=AB/AC=2/3.
Пусть BD=2k, DC=3k. Тогда 5k=20, k=4. Искомые отрезки — 8 и 12. Меньший отрезок прилежит к меньшей стороне AB.
Проверка результата
8+12=20 и 8/12=10/15. Неравенство треугольника также выполнено: 10+15>20.
Типичная ошибка
Биссектриса делит угол пополам, но не обязана делить противоположную сторону пополам. Это произошло бы при AB=AC.
Что даёт этот метод
Сравнение одной и той же пары площадей двумя способами превращает угловое условие в пропорцию длин.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Равнобедренный треугольник: угол 40° и доказательство равенства углов у основания
- Серединный перпендикуляр: почему равенство расстояний задаёт прямую
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, bissektrisa-delenie-osnovaniya. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.