Условие
Диагонали параллелограмма равны 18 и 14, одна сторона равна 10. Найдите вторую сторону b.
Решение по шагам
Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов смежных сторон: 18²+14²=2(10²+b²). Отсюда b²=(324+196)/2−100=160 и b=4√10.
Равенство можно вывести векторами. Если стороны задаются u и v, диагонали равны u+v и u−v. В сумме их квадратов смешанные произведения 2u·v взаимно уничтожаются, оставляя 2|u|²+2|v|².
Проверка результата
2(100+160)=520=324+196. Скалярное произведение сторон (18²−14²)/4=32 допустимо: |32|<10·4√10, поэтому невырожденная фигура существует.
Типичная ошибка
Длина b положительна; ответ 160 — квадрат длины, а не сама длина. Нельзя считать все стороны параллелограмма равными.
Что даёт этот метод
Закон параллелограмма работает независимо от угла между сторонами и даёт проверку согласованности геометрических данных.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, parallelogramm-kvadraty-diagonaley. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.