Условие
Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите его сторону и площадь. Объясните, какие свойства диагоналей используются.
Решение по шагам
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Поэтому половины диагоналей 6 и 8 — катеты прямоугольного треугольника, а сторона ромба — его гипотенуза: a=√(6²+8²)=10.
Ромб состоит из четырёх таких треугольников. Площадь одного равна 6·8/2=24, всей фигуры — 96. Эквивалентная формула S=d₁d₂/2 даёт тот же результат.
Проверка результата
Четыре стороны дают периметр 40, а высота к стороне a равна S/a=9,6. Высота меньше стороны 10, что возможно для данного ромба.
Типичная ошибка
В теорему Пифагора подставляются половины диагоналей. Для произвольного параллелограмма диагонали могут быть неперпендикулярны.
Что даёт этот метод
Разбиение фигуры на прямоугольные треугольники позволяет связать линейные размеры с площадью без нахождения углов.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Медиана по трём сторонам: формула Аполлония и длина 7
- Треугольник 13–14–15: площадь по Герону и высота 12
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, romb-diagonali-12-16. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.