Условие
В треугольнике ABC сторона BC равна 8, AB=7, AC=9. M — середина BC. Найдите AM.
Решение по шагам
Удвоим медиану, продолжив AM до точки D так, чтобы MD=AM. Четырёхугольник ABDC — параллелограмм: его диагонали AD и BC делятся точкой M пополам. Закон параллелограмма даёт (2AM)²+BC²=2AB²+2AC².
Следовательно, AM²=(2·49+2·81−64)/4=49, поэтому AM=7. Полученная формула mₐ=√(2b²+2c²−a²)/2 называется формулой для медианы; равенство длины медианы одной из сторон здесь лишь особенность чисел.
Проверка результата
Независимая проверка: положим B=(0,0), C=(8,0), A=(2,3√5). Расстояния AB=7, AC=9, а от A до M=(4,0) получаем √(4+45)=7.
Типичная ошибка
Медиана обычно не перпендикулярна стороне. Нельзя автоматически применить Пифагора к AMB: прямой угол в M не дан.
Что даёт этот метод
Дополнительное построение превращает неизвестную медиану в диагональ параллелограмма. Такой переход полезен там, где исходные треугольники не прямоугольные.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Ромб с диагоналями 12 и 16: сторона и площадь
- Закон параллелограмма: неизвестная сторона по двум диагоналям
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, mediana-storony-8-7-9. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.