Условие
Определите по сторонам 7, 8 и 10, является треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.
Решение по шагам
Сначала проверим существование: 7+8>10, остальные неравенства тем более выполнены. Сравнивать нужно квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других. Здесь 10²=100, а 7²+8²=113.
По теореме косинусов cos C=(7²+8²−10²)/(2·7·8)=13/112>0, где C — наибольший угол. Он острый. Если даже наибольший угол меньше 90°, остальные также острые.
Проверка результата
13/112 лежит между 0 и 1, как и должно быть для косинуса острого угла. Разность 113−100 положительна и не равна нулю.
Типичная ошибка
Выбор не самой большой стороны может скрыть тупой угол. Критерий прямоугольности требует точного равенства квадратов, а не приблизительно похожих чисел.
Что даёт этот метод
Квадраты сторон позволяют классифицировать угол без построения и без вычисления самого угла через обратную тригонометрическую функцию.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Средняя линия треугольника: длина, параллельность и отношение площадей
- Неравенство треугольника: семь возможных целых длин третьей стороны
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, klassifikaciya-treugolnika-7-8-10. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.