Условие
Хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в M. Даны AM=3, MB=12, CM=4. Найдите MD.
Решение по шагам
Треугольники AMC и DMB подобны: углы при M вертикальные, а углы при концах хорд равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Из соответствующей пропорции следует AM·MB=CM·MD.
Подставляя данные, получаем 3·12=4·MD, откуда MD=9. Здесь оба произведения относятся к двум частям одной хорды, а не к произвольно выбранным четырём отрезкам.
Проверка результата
3·12=4·9=36. Обе полные хорды имеют положительную длину: AB=15, CD=13. Произведение согласовано с положением M внутри окружности.
Типичная ошибка
Не используйте сумму отрезков вместо произведения. Также важно не перемешать части разных хорд: AM·CM обычно не является постоянной величиной.
Что даёт этот метод
Подобие превращает угловую информацию об окружности в равенство произведений. Это первый случай общей идеи степени точки.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
- Средняя линия треугольника: длина, параллельность и отношение площадей
- Биссектриса треугольника: деление стороны в отношении 2:3
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, peresekayuschiesya-hordy. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.