Условие
Y₁,Y₂,Y₃ независимы U(0,1), S=Y₁+Y₂+Y₃. Найдите Corr(Y₁,Y₂) и корреляцию остатков Y₁−αS,Y₂−βS, некоррелированных с S.
Решение по шагам
Обозначим v=Var Yᵢ=1/12. Cov(Y₁,S)=v, Var S=3v, значит α=β=1/3. Исходная корреляция Y₁,Y₂ нулевая.
Остатки A=Y₁−S/3, B=Y₂−S/3 имеют Var A=Var B=v−v/3=2v/3. Cov(A,B)=0−v/3−v/3+3v/9=−v/3. Поэтому частная корреляция (−v/3)/(2v/3)=−1/2.
Выделение общей суммы связывает остатки отрицательно: при фиксированном агрегате больший вклад одной компоненты приходится компенсировать меньшим вкладом других. Здесь определение использует линейные остатки, а не произвольную условную корреляцию.
Проверка результата
Cov(A,S)=v−3v/3=0. Остаток третьей компоненты вместе с A,B суммируется в ноль.
Типичная ошибка
Считать, что независимость исходных величин гарантирует независимость после удаления общей суммы.
Что даёт этот метод
Различайте исходную и частную корреляцию.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: квадрат равномерной величины и нулевая корреляция
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA6Q3. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.