МГУ, вероятность: ожидание цветущих деревьев и соседних пар

Условие

Десять деревьев независимо цветут с вероятностями 1/k для k=1,…,10. Найдите среднее число цветущих и среднее число соседних пар, у которых цветут оба.

Решение по шагам

Число цветущих — ΣIₖ, поэтому ожидание H₁₀=Σ1/k=7381/2520≈2.928968. Для пары k,k+1 индикатор Jₖ=IₖIₖ₊₁. Независимость даёт EJₖ=1/[k(k+1)].

Сумма по девяти соседним парам телескопируется: Σ(1/k−1/(k+1))=1−1/10=9/10. Перекрывающиеся пары зависимы, но при вычислении их суммарного ожидания это не мешает.

Проверка результата

Девять пар, а не десять: последнее дерево имеет только левого соседа. Три подряд цветущих дают две пары.

Типичная ошибка

Считать число групп цветущих деревьев вместо числа пар или требовать независимости всех Jₖ.

Что даёт этот метод

Сначала определите единицу счёта, затем используйте индикаторы.

Дальше по теме

Университетские задачи по вероятности.

Следующие разборы

Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA2Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.