Условие
Три равномерных колеса имеют числа A={2,4,9}, B={1,6,8}, C={3,5,7}. Больший результат выигрывает. Есть ли самое сильное колесо? Как выбирать второму игроку?
Решение по шагам
Каждая пара результатов имеет вероятность 1/9. A против B выигрывает в пяти случаях: 2 побеждает 1, 4 побеждает 1, 9 побеждает все три. Поэтому P(A>B)=5/9.
B против C: 1 не побеждает, 6 побеждает 3 и 5, 8 — все три, снова 5/9. C против A: 3 побеждает 2, 5 и 7 побеждают 2 и 4, итого 5/9. Получается цикл A>B>C>A по вероятности победы.
Самого сильного против всех колеса нет. Второму игроку выгодно выбрать C после A, A после B и B после C: в каждой паре шанс 5/9. Сравнение средних не заменяет сравнение вероятности победы.
Проверка результата
В каждой паре девять исходов, ничьих нет, вероятности противоположных побед 5/9 и 4/9 суммируются в 1.
Типичная ошибка
Предполагать транзитивность вероятностного превосходства, как у обычных чисел.
Что даёт этот метод
Для сравнения случайных объектов сначала определите критерий: среднее и шанс победить могут давать разные порядки.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи.
Следующие разборы
- МГУ, вероятность: условные ожидания из совместной таблицы
- ВШЭ, ПМИ: контрольная «Альфа» 2024, все шесть задач
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев и участники, probability_dna, L1786. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC BY 4.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.