Условие
Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 9 и 16. Найдите высоту и оба катета.
Решение по шагам
Гипотенуза c=9+16=25. Треугольники, образованные высотой, подобны исходному и друг другу. Из пропорций следуют h²=9·16, a²=c·9 и b²=c·16.
Значит h=12, a=15, b=20. Формулы связывают каждую сторону с её проекцией; какой именно катет называется a, определяется соответствующим концом гипотенузы.
Проверка результата
15²+20²=25². Площадь через катеты равна 15·20/2=150, через гипотенузу и высоту — 25·12/2=150.
Типичная ошибка
Высота не равна ни среднему арифметическому проекций, ни их сумме. Геометрическое среднее возникает из подобия.
Что даёт этот метод
Проверка площади дополняет проверку Пифагора и помогает обнаружить перепутанные проекции или ошибочно подписанную высоту.
Дальше по теме
Школьная геометрия: задачи и доказательства.
Следующие разборы
Авторское учебное условие по теме источника: А. П. Киселёв, «Геометрия», редакция Антона Петрунина, vysota-proekcii-9-16. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.