Условие
Для вероятности успеха p выбрано априорное распределение Beta(2,2). В десяти независимых испытаниях получены шесть успехов и четыре неудачи. Найдите апостериорное распределение, среднее и моду.
Решение по шагам
Априорная плотность пропорциональна p¹(1−p)¹. Умножение на правдоподобие p⁶(1−p)⁴ даёт p⁷(1−p)⁵, то есть Beta(8,6). Среднее равно 8/(8+6)=4/7≈0,57143.
Оба параметра больше 1, поэтому внутренняя мода равна (8−1)/(8+6−2)=7/12≈0,58333. Частота успехов 0,6 является ММП без априорного распределения и не обязана совпадать с этими байесовскими характеристиками.
Проверка результата
Интегрирование beta-плотности даёт среднее 4/7. Нуль производной логарифма p⁷(1−p)⁵ находится в 7/12, подтверждая моду.
Типичная ошибка
Нельзя назвать апостериорное среднее модой: это разные характеристики. Формула внутренней моды не применяется без проверки параметров.
Что даёт этот метод
Сопряжённость Beta позволяет обновлять параметры добавлением успехов и неудач. Влияние априорного распределения должно быть явно указано.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.