Условие
У пяти объектов измерения до равны 20,21,19,23,18, после — 22,24,20,27,18. Разности разных объектов независимы и нормально распределены. Найдите статистику парного t-теста для нулевого среднего изменения.
Решение по шагам
Работаем с разностями «после минус до»: 2,3,1,4,0. Их среднее 2, сумма квадратов отклонений 10, исправленная дисперсия 10/4=2,5. Стандартная ошибка среднего √(2,5/5)=√0,5. Поэтому t=2/√0,5=2√2≈2,82843, степени свободы 4.
Парность сохраняет связь двух измерений одного объекта. Нулевой параметр относится к среднему разности; независимость требуется между объектами, а не между двумя измерениями одного объекта.
Проверка результата
Прямой расчёт средних «после» и «до» даёт разность 2, совпадающую со средним попарных разностей. Дисперсия рассчитана именно по пяти разностям.
Типичная ошибка
Рассматривать десять значений как независимые наблюдения нельзя. Такая процедура игнорирует парную структуру и оценивает другую стандартную ошибку.
Что даёт этот метод
Перед парным анализом нужно правильно сопоставить объекты и выбрать направление разности. Для точного малого t-теста предпосылка нормальности относится к разностям.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.