Условие
Независимая нормальная выборка состоит из значений 2,4,6,8,10. Постройте двусторонний 95% доверительный интервал среднего при неизвестной дисперсии.
Решение по шагам
Среднее равно 6. Сумма квадратов отклонений 16+4+0+4+16=40, исправленная дисперсия s²=40/4=10. Стандартная ошибка s/√n=√2. При нормальности статистика (X̄−μ)/(s/√n) имеет распределение Стьюдента с n−1=4 степенями свободы.
Квантиль t₀․₉₇₅,₄≈2,776445. Полуширина около 3,92649, интервал примерно [2,07351;9,92649]. Он шире интервала с нормальным квантилем, потому что дисперсия оценивается по малой выборке.
Проверка результата
Численное интегрирование плотности Стьюдента до найденного квантиля даёт вероятность 0,975. Подстановка границ в статистику даёт ±2,776445.
Типичная ошибка
Использовать 1,96 вместо t-квантиля при этой точной модели нельзя. При малой выборке нормальность существенно влияет на корректность интервала.
Что даёт этот метод
Степени свободы соответствуют числу независимых отклонений после оценивания среднего. Для ненормальных малых выборок нужны дополнительные основания или другая процедура.
Дальше по теме
Математическая статистика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.