Условие
Xᵢ независимы N(μ,1). Один исследователь строит 95%-й интервал, зная σ=1, другой оценивает σ по той же выборке. Сравните центры, длины и вероятность, что первый интервал короче при n=10.
Общий центр
Оба интервала центрированы в X̄. Известная σ даёт фиксированную полуширину z0,975/√n; неизвестная — t0,975;n−1·S/√n.
Вероятность более короткого интервала при n=10
Первый короче, когда S>z/t. При нормальности (n−1)S²∼χ²9. Для z≈1,959964 и t9≈2,262157 порог χ² равен 9(z/t)²≈6,756054.
Следовательно, P(L_known<L_unknown)=P(χ²9>6,756054)≈0,662501. При n→∞ эта вероятность стремится к 1/2 — вывод ключа.
Условное покрытие
Если |X̄−μ| уже известно большим, фиксированный интервал с известной σ может гарантированно промахнуться, тогда как случайно широкий t-интервал ещё может накрыть μ. Если отклонение очень мало и находится внутри фиксированной полуширины, известный-σ интервал гарантированно накрывает, а случайно слишком маленький t-интервал может нет. Поэтому нельзя утверждать, что один из двух интервалов короче на каждой выборке.
Оценки масштаба
Для обычной нормальной выборочной дисперсии E(S²)=σ², но E(S)<σ по строгой вогнутости квадратного корня. Ответы ключа сохранены; имена персонажей в его пояснениях не используются из-за несогласованности.
statistics_pro 9.11 · CC0 1.0 · предел 1/2 и моменты сохранены; вероятность n=10 рассчитана.